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求证：若两直线垂直，则它们的斜率互为负倒数

来源：乐勾情感网

在解析几何中，探讨直线垂直条件下的斜率关系是一个经典的话题。假设直线p的倾斜角为α，其斜率k₁定义为tanα。同样，假设直线q的倾斜角为β，斜率k₂则为tanβ。当直线p与直线q垂直时，它们的倾斜角之间存在特定的关系。

具体而言，由于两直线垂直，直线q的倾斜角β可以表示为α±π/2。这样，我们可以通过三角函数的性质，将k₂表达为tan(α±π/2)。根据三角函数的周期性和奇偶性，我们知道tan(α±π/2)=-cotα，而cotα即为1/tanα的倒数，因此k₂可以进一步简化为-1/k₁。由此，我们得出若直线p与直线q垂直，则它们的斜率k₁和k₂满足k₁=-1/k₂。

这个证明过程不仅展示了数学的严谨性，还揭示了直线斜率之间内在的联系。通过这一推导，我们可以更好地理解空间中两条直线垂直的几何意义，从而在实际应用中更加灵活地解决问题。

值得注意的是，这个结论基于直角坐标系中的直线定义。在其他坐标系或更复杂的几何环境中，斜率的概念可能需要重新定义或调整，以适应不同的数学模型。尽管如此，上述结论在大多数解析几何问题中仍然具有广泛的应用价值。

综上所述，当两直线垂直时，它们的斜率确实互为负倒数，这一结论的证明过程展示了数学中的逻辑推理和几何直观之间的美妙结合。